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module:mathematik:nkoerperproblem

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module:mathematik:nkoerperproblem [2021/12/07 19:38] – [Newtonsche Axiome] omdevelopmodule:mathematik:nkoerperproblem [2022/09/13 11:58] (current) – external edit 127.0.0.1
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 ====== N-Körper-Problem ====== ====== N-Körper-Problem ======
- 
-===== Quellen ===== 
 [[http://www.openhardsoftware.de/ | Open Hard- & Software]] [[http://www.openhardsoftware.de/ | Open Hard- & Software]]
 [ [
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 ] ]
  
 +===== Quellen =====
 Prof.Dr. Edmund Weitz, HAW Hamburg: [[ https://www.youtube.com/watch?v=IExxH1YGM3Y | Kepler, Newton und das Dreikörperproblem]] Prof.Dr. Edmund Weitz, HAW Hamburg: [[ https://www.youtube.com/watch?v=IExxH1YGM3Y | Kepler, Newton und das Dreikörperproblem]]
  
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   * Kraft erzeugt Gegenkraft - Kraft auf Masse A erzeugt Gegenkraft mit gleichem Betrag und umgekehrter Richtung.   * Kraft erzeugt Gegenkraft - Kraft auf Masse A erzeugt Gegenkraft mit gleichem Betrag und umgekehrter Richtung.
  
-(1.) $\vec{F} = \vec{0} \enspace\Rarr\enspace \vec{a} = \vec{0} \enspace\Rarr\enspace \dfrac{d\vec{v}}{dt} = \vec{0}  \enspace\Rarr\enspace \vec{v} = const$+(1.) $\vec{F} = \vec{0} \enspace\Rightarrow\enspace \vec{a} = \vec{0} \enspace\Rightarrow\enspace \dfrac{d\vec{v}}{dt} = \vec{0}  \enspace\Rightarrow\enspace \vec{v} = const$
  
 (2.) $\vec{F} = m \cdot \vec{a}$ (2.) $\vec{F} = m \cdot \vec{a}$
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 ==== Annahmen ==== ==== Annahmen ====
 +  * - Zwei Massen bewegen sich immer in einer Ebene
 +  * - Es gibt nur Kräfte in Richtung der Verbindungsvektoren der Massen
 +  * - Drehimpuls bleibt erhalten und damit konstant:
  
-- <h5>Zwei Massen bewegen sich immer in einer Ebene.</h5> +$\vec{L} = C (\vec{r} \times \vec{v})$ , $\dfrac{d\vec{L}}{dt} = \vec{0}$
- +
-- <h5>Es gibt nur Kräfte in Richtung der Verbindungsvektoren der Massen.</h5> +
- +
-- <h5>Drehimpuls bleibt erhalten und damit konstant:</h5> +
- +
-   $\vec{L} = C (\vec{r} \times \vec{v})$ , $\dfrac{d\vec{L}}{dt} = \vec{0}$+
  
  
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 ==== Definitionen ==== ==== Definitionen ====
  
-<h4>Definition - Punkt in Polarkoordinaten:</h4> +=== Definition - Punkt in Polarkoordinaten:=== 
- +$P_{PCS} = P(\varphi(t), r(t))$
-   $P_{PCS} = P(\varphi(t), r(t))$ +
- +
-<h4>Definition - Punkt in Kartesischen Koordinaten:</h4> +
- +
-   $P_{CCS} = P(x(t), y(t))$. +
- +
- +
-<h4>Definition - Umrechnung von PCS nach CCS</h4> +
- +
-$P_{CCS} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r \cos(\varphi) \\ r sin(\varphi) \end{pmatrix} \larr P_{PCS}$+
  
-$P_{PCS} = \begin{pmatrix} \varphi \\ r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \arctan(\dfrac{y}{x})\\  \sqrt{x^2 + y^2}\end{pmatrix} \larr P_{CCS}$+===Definition - Punkt in Kartesischen Koordinaten:=== 
 +$P_{CCS} = P(x(t), y(t))$.
  
 +===Definition - Umrechnung von PCS nach CCS:===
 +$P_{CCS} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r \cos(\varphi) \\ r sin(\varphi) \end{pmatrix} \Leftarrow P_{PCS}$
  
-<h4>Definition - Drehung des CCS um Ursprung mit Winkel:</h4>+$P_{PCS} = \begin{pmatrix} \varphi \\ r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \arctan(\dfrac{y}{x})\\  \sqrt{x^2 + y^2}\end{pmatrix} \Leftarrow P_{CCS}$
  
-Drehung um $\alpha$ von $CCS \rarr CCS'$ :+===Definition - Drehung des CCS um Ursprung mit Winkel:=== 
 +Drehung um $\alpha$ von $CCS \Rightarrow CCS'$ :
 $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} +\cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ +\sin(\alpha) & +\cos(\alpha) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $ $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} +\cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ +\sin(\alpha) & +\cos(\alpha) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $
  
-Rücktransformation um $\alpha$ von $CCS' \rarr CCS$ :+Rücktransformation um $\alpha$ von $CCS' \Rightarrow CCS$ :
 $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} +\cos(\alpha) & +\sin(\alpha) \\ -\sin(\alpha) & +\cos(\alpha) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} $ $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} +\cos(\alpha) & +\sin(\alpha) \\ -\sin(\alpha) & +\cos(\alpha) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} $
  
- +===Definition - Lokales Planeten-(Hilfs-)Koordinatensystem===
-<h4>Definition - Lokales Planeten-(Hilfs-)Koordinatensystem</h4>+
  
 Definition zweier senkrechter Einheitsvektoren $\vec{u}(t)$ und $\vec{w}(t)$ : Definition zweier senkrechter Einheitsvektoren $\vec{u}(t)$ und $\vec{w}(t)$ :
-    Bild!+ 
 +!!!Bild!!!
  
 Die Einheitsvektoren $\vec{u}(t)$ und $\vec{w}(t)$ unterteilen: Die Einheitsvektoren $\vec{u}(t)$ und $\vec{w}(t)$ unterteilen:
-- den Ortsvektor $\vec{r}(t)$ in Betrag $\|\vec{r}(t)\| = r(t)$ und Richtung $\vec{u}(t)$ +  * den Ortsvektor $\vec{r}(t)$ in Betrag $\|\vec{r}(t)\| = r(t)$ und Richtung $\vec{u}(t)$ 
-- den Geschwindigkeitsvektor $\vec{v}(t)$ in Betrag $\|\vec{v}(t)\| = v(t)$ und Richtung $\vec{w}(t)$+  * den Geschwindigkeitsvektor $\vec{v}(t)$ in Betrag $\|\vec{v}(t)\| = v(t)$ und Richtung $\vec{w}(t)$
  
-<h5>Einheitsvektor Ort</h5>+=== Einheitsvektor Ort ===
  
 Einheitsvektor Ort: $\vec{u}(t) = \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \end{pmatrix}$ Einheitsvektor Ort: $\vec{u}(t) = \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \end{pmatrix}$
 +
 $\vec{u}(t) = \dfrac{\vec{r(t)}}{r(t)} = \begin{pmatrix} \cos(\varphi(t)) \\ \sin(\varphi(t)) \end{pmatrix}$ $\vec{u}(t) = \dfrac{\vec{r(t)}}{r(t)} = \begin{pmatrix} \cos(\varphi(t)) \\ \sin(\varphi(t)) \end{pmatrix}$
  
Line 96: Line 87:
  
  
-<h5>Einheitsvektor Geschwindigkeit</h5>+=== Einheitsvektor Geschwindigkeit ===
  
 Einheitsvektor Geschwindigkeit: $\vec{w}(t) = \begin{pmatrix} w_x \\ w_y \end{pmatrix}$ Einheitsvektor Geschwindigkeit: $\vec{w}(t) = \begin{pmatrix} w_x \\ w_y \end{pmatrix}$
  
-Drehung  $\vec{u}(t)$ um $+\dfrac{\pi}{2} : \vec{u}(t) \rarr \vec{w}(t)$+Drehung  $\vec{u}(t)$ um $+\dfrac{\pi}{2} : \vec{u}(t) \Rightarrow \vec{w}(t)$
  
 $\begin{pmatrix} w_x \\ w_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} +\cos(\dfrac{\pi}{2}) & -\sin(\dfrac{\pi}{2}) \\ +\sin(\dfrac{\pi}{2}) & +\cos(\dfrac{\pi}{2}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \end{pmatrix} $ $\begin{pmatrix} w_x \\ w_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} +\cos(\dfrac{\pi}{2}) & -\sin(\dfrac{\pi}{2}) \\ +\sin(\dfrac{\pi}{2}) & +\cos(\dfrac{\pi}{2}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \end{pmatrix} $
Line 121: Line 112:
  
  
-<h4>Definition - Variablen Geschwindigkeit und Beschleunigung</h4> +==== Definition - Variablen Geschwindigkeit und Beschleunigung ====
- +
-<h5>Geschwindigkeit</h5>+
  
 +=== Geschwindigkeit ===
 als Zeit-Ableitung des Ortes nach der Zeit: als Zeit-Ableitung des Ortes nach der Zeit:
 +
 $\vec{v}(t) := \dfrac{d\vec{r}(t)}{dt} =: \dot{\vec{r}}(t)$ $\vec{v}(t) := \dfrac{d\vec{r}(t)}{dt} =: \dot{\vec{r}}(t)$
  
  
-<h5>Beschleunigung</h5> +=== Beschleunigung ===
 als Zeit-Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit: als Zeit-Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit:
 +
 $\vec{a}(t) := \dfrac{d\vec{v}(t)}{dt} =: \dot{\vec{v}}(t) = \ddot{\vec{r}}(t)$ $\vec{a}(t) := \dfrac{d\vec{v}(t)}{dt} =: \dot{\vec{v}}(t) = \ddot{\vec{r}}(t)$
  
----+-----
  
 ===== Herleitungen ===== ===== Herleitungen =====
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 Aufspaltung des Ortsvektor nach Produkt von Betrag und Richtung: Aufspaltung des Ortsvektor nach Produkt von Betrag und Richtung:
 +
 $\vec{r}(t) = \|\vec{r}(t)\| \cdot \vec{u}(t) = r(t) \cdot \vec{u}(t)$ $\vec{r}(t) = \|\vec{r}(t)\| \cdot \vec{u}(t) = r(t) \cdot \vec{u}(t)$
  
 Grund: bei Berechnung von Geschwindigkeit und Beschleunigung als Ableitung(en) des Ortsvektors nach der Zeit werden Betrag und Richtung (durch Produktregel) separiert: Grund: bei Berechnung von Geschwindigkeit und Beschleunigung als Ableitung(en) des Ortsvektors nach der Zeit werden Betrag und Richtung (durch Produktregel) separiert:
 +
 $\vec{v}(t) = \dfrac{d\vec{r}(t)}{dt} = \dfrac{d}{dt}(r(t) \cdot \vec{u}(t)) = \dot{r}(t) \cdot \vec{u}(t) + r(t) \cdot \dot{\vec{u}}(t)$ $\vec{v}(t) = \dfrac{d\vec{r}(t)}{dt} = \dfrac{d}{dt}(r(t) \cdot \vec{u}(t)) = \dot{r}(t) \cdot \vec{u}(t) + r(t) \cdot \dot{\vec{u}}(t)$
  
 mit $\dot{\vec{u}}(t) = \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t)$ folgt: mit $\dot{\vec{u}}(t) = \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t)$ folgt:
 +
 $\vec{v}(t) = \dot{r}(t) \vec{u}(t) + r(t) \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t)$ $\vec{v}(t) = \dot{r}(t) \vec{u}(t) + r(t) \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t)$
  
 ebenso die Beschleunigung: ebenso die Beschleunigung:
 +
 $\vec{a}(t) = \dot{\vec{v}}(t) = \dfrac{d}{dt}[\dot{r}(t) \vec{u}(t) + r(t) \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t)]$ $\vec{a}(t) = \dot{\vec{v}}(t) = \dfrac{d}{dt}[\dot{r}(t) \vec{u}(t) + r(t) \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t)]$
  
module/mathematik/nkoerperproblem.1638902305.txt.gz · Last modified: 2021/12/07 20:38 (external edit)