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--- module:mathematik:nkoerperproblem [2021/12/07 19:40] – [Newtonsche Axiome] omdevelop
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 ====== N-Körper-Problem ======
-===== Quellen =====
 [[http://www.openhardsoftware.de/ | Open Hard- & Software]]
 [
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 ]
+===== Quellen =====
 Prof.Dr. Edmund Weitz, HAW Hamburg: [[ https://www.youtube.com/watch?v=IExxH1YGM3Y | Kepler, Newton und das Dreikörperproblem]]
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 ==== Annahmen ====
+  * - Zwei Massen bewegen sich immer in einer Ebene
+  * - Es gibt nur Kräfte in Richtung der Verbindungsvektoren der Massen
+  * - Drehimpuls bleibt erhalten und damit konstant:
-- <h5>Zwei Massen bewegen sich immer in einer Ebene.</h5>
+ $\vec{L} = C (\vec{r} \times \vec{v})$  ,  $\dfrac{d\vec{L}}{dt} = \vec{0}$
-- <h5>Es gibt nur Kräfte in Richtung der Verbindungsvektoren der Massen.</h5>
-- <h5>Drehimpuls bleibt erhalten und damit konstant:</h5>
-    $\vec{L} = C (\vec{r} \times \vec{v})$  ,  $\dfrac{d\vec{L}}{dt} = \vec{0}$
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 ==== Definitionen ====
-<h4>Definition - Punkt in Polarkoordinaten:</h4>
+=== Definition - Punkt in Polarkoordinaten:===
+ $P_{PCS} = P(\varphi(t), r(t))$
-   $P_{PCS} = P(\varphi(t), r(t))$
+===Definition - Punkt in Kartesischen Koordinaten:===
+$P_{CCS} = P(x(t), y(t))$.
-<h4>Definition - Punkt in Kartesischen Koordinaten:</h4>
+===Definition - Umrechnung von PCS nach CCS:===
+ $P_{CCS} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r \cos(\varphi) \\ r sin(\varphi) \end{pmatrix} \Leftarrow P_{PCS}$
-   $P_{CCS} = P(x(t), y(t))$.
+$P_{PCS} =  $\begin{pmatrix} \varphi \\ r \end{pmatrix}$  = \begin{pmatrix} \arctan(\dfrac{y}{x})\\  \sqrt{x^2 + y^2}\end{pmatrix} \Leftarrow P_{CCS}$
+===Definition - Drehung des CCS um Ursprung mit Winkel:===
-<h4>Definition - Umrechnung von PCS nach CCS</h4>
+Drehung um  $\alpha$  von $CCS \Rightarrow CCS'$ :
-$P_{CCS} =  $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$  =  $\begin{pmatrix} r \cos(\varphi) \\ r sin(\varphi) \end{pmatrix}$  \larr P_{PCS}$
-$P_{PCS} =  $\begin{pmatrix} \varphi \\ r \end{pmatrix}$  =  $\begin{pmatrix} \arctan(\dfrac{y}{x})\\  \sqrt{x^2 + y^2}\end{pmatrix}$  \larr P_{CCS}$
-<h4>Definition - Drehung des CCS um Ursprung mit Winkel:</h4>
-Drehung um  $\alpha$  von $CCS \rarr CCS'$ :
  $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} +\cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ +\sin(\alpha) & +\cos(\alpha) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
-Rücktransformation um  $\alpha$  von $CCS' \rarr CCS$ :
+Rücktransformation um  $\alpha$  von $CCS' \Rightarrow CCS$ :
  $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} +\cos(\alpha) & +\sin(\alpha) \\ -\sin(\alpha) & +\cos(\alpha) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$
+===Definition - Lokales Planeten-(Hilfs-)Koordinatensystem===
-<h4>Definition - Lokales Planeten-(Hilfs-)Koordinatensystem</h4>
 Definition zweier senkrechter Einheitsvektoren  $\vec{u}(t)$  und  $\vec{w}(t)$  :
-    Bild!
+!!!Bild!!!
 Die Einheitsvektoren  $\vec{u}(t)$  und  $\vec{w}(t)$  unterteilen:
-- den Ortsvektor  $\vec{r}(t)$  in Betrag  $\|\vec{r}(t)\| = r(t)$  und Richtung  $\vec{u}(t)$
+  * den Ortsvektor  $\vec{r}(t)$  in Betrag  $\|\vec{r}(t)\| = r(t)$  und Richtung  $\vec{u}(t)$
-- den Geschwindigkeitsvektor  $\vec{v}(t)$  in Betrag  $\|\vec{v}(t)\| = v(t)$  und Richtung  $\vec{w}(t)$
+  * den Geschwindigkeitsvektor  $\vec{v}(t)$  in Betrag  $\|\vec{v}(t)\| = v(t)$  und Richtung  $\vec{w}(t)$
-<h5>Einheitsvektor Ort</h5>
+=== Einheitsvektor Ort ===
 Einheitsvektor Ort:  $\vec{u}(t) = \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \end{pmatrix}$
  $\vec{u}(t) = \dfrac{\vec{r(t)}}{r(t)} = \begin{pmatrix} \cos(\varphi(t)) \\ \sin(\varphi(t)) \end{pmatrix}$
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-<h5>Einheitsvektor Geschwindigkeit</h5>
+=== Einheitsvektor Geschwindigkeit ===
 Einheitsvektor Geschwindigkeit:  $\vec{w}(t) = \begin{pmatrix} w_x \\ w_y \end{pmatrix}$
-Drehung   $\vec{u}(t)$  um $+\dfrac{\pi}{2} : \vec{u}(t) \rarr \vec{w}(t)$
+Drehung   $\vec{u}(t)$  um $+\dfrac{\pi}{2} : \vec{u}(t) \Rightarrow \vec{w}(t)$
  $\begin{pmatrix} w_x \\ w_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} +\cos(\dfrac{\pi}{2}) & -\sin(\dfrac{\pi}{2}) \\ +\sin(\dfrac{\pi}{2}) & +\cos(\dfrac{\pi}{2}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \end{pmatrix}$
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-<h4>Definition - Variablen Geschwindigkeit und Beschleunigung</h4>
+==== Definition - Variablen Geschwindigkeit und Beschleunigung ====
-<h5>Geschwindigkeit</h5>
+=== Geschwindigkeit ===
 als Zeit-Ableitung des Ortes nach der Zeit:
  $\vec{v}(t) := \dfrac{d\vec{r}(t)}{dt} =: \dot{\vec{r}}(t)$
-<h5>Beschleunigung</h5>
+=== Beschleunigung ===
 als Zeit-Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit:
  $\vec{a}(t) := \dfrac{d\vec{v}(t)}{dt} =: \dot{\vec{v}}(t) = \ddot{\vec{r}}(t)$
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 ===== Herleitungen =====
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 Aufspaltung des Ortsvektor nach Produkt von Betrag und Richtung:
  $\vec{r}(t) = \|\vec{r}(t)\| \cdot \vec{u}(t) = r(t) \cdot \vec{u}(t)$
 Grund: bei Berechnung von Geschwindigkeit und Beschleunigung als Ableitung(en) des Ortsvektors nach der Zeit werden Betrag und Richtung (durch Produktregel) separiert:
  $\vec{v}(t) = \dfrac{d\vec{r}(t)}{dt} = \dfrac{d}{dt}(r(t) \cdot \vec{u}(t)) = \dot{r}(t) \cdot \vec{u}(t) + r(t) \cdot \dot{\vec{u}}(t)$
 mit  $\dot{\vec{u}}(t) = \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t)$  folgt:
  $\vec{v}(t) = \dot{r}(t) \vec{u}(t) + r(t) \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t)$
 ebenso die Beschleunigung:
  $\vec{a}(t) = \dot{\vec{v}}(t) = \dfrac{d}{dt}[\dot{r}(t) \vec{u}(t) + r(t) \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t)]$