module:mathematik:nkoerperproblem
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| module:mathematik:nkoerperproblem [2021/12/07 19:42] – [Annahmen] omdevelop | module:mathematik:nkoerperproblem [2022/09/13 11:58] (current) – external edit 127.0.0.1 | ||
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| ====== N-Körper-Problem ====== | ====== N-Körper-Problem ====== | ||
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| - | ===== Quellen ===== | ||
| [[http:// | [[http:// | ||
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| + | ===== Quellen ===== | ||
| Prof.Dr. Edmund Weitz, HAW Hamburg: [[ https:// | Prof.Dr. Edmund Weitz, HAW Hamburg: [[ https:// | ||
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| ==== Annahmen ==== | ==== Annahmen ==== | ||
| - | * - **Zwei Massen bewegen sich immer in einer Ebene** | + | * - Zwei Massen bewegen sich immer in einer Ebene |
| - | * - **Es gibt nur Kräfte in Richtung der Verbindungsvektoren der Massen** | + | * - Es gibt nur Kräfte in Richtung der Verbindungsvektoren der Massen |
| - | * - **Drehimpuls bleibt erhalten und damit konstant:** | + | * - Drehimpuls bleibt erhalten und damit konstant: |
| - | $\vec{L} = C (\vec{r} \times \vec{v})$ , $\dfrac{d\vec{L}}{dt} = \vec{0}$ | + | $\vec{L} = C (\vec{r} \times \vec{v})$ , $\dfrac{d\vec{L}}{dt} = \vec{0}$ |
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| ==== Definitionen ==== | ==== Definitionen ==== | ||
| - | <h4>Definition - Punkt in Polarkoordinaten: | + | === Definition - Punkt in Polarkoordinaten: |
| + | $P_{PCS} = P(\varphi(t), | ||
| - | $P_{PCS} = P(\varphi(t), r(t))$ | + | ===Definition - Punkt in Kartesischen Koordinaten: |
| + | $P_{CCS} = P(x(t), y(t))$. | ||
| - | <h4>Definition - Punkt in Kartesischen Koordinaten:</h4> | + | ===Definition - Umrechnung von PCS nach CCS:=== |
| + | $P_{CCS} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r \cos(\varphi) \\ r sin(\varphi) \end{pmatrix} \Leftarrow P_{PCS}$ | ||
| - | $P_{CCS} = P(x(t), y(t))$. | + | $P_{PCS} = \begin{pmatrix} \varphi \\ r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \arctan(\dfrac{y}{x})\\ \sqrt{x^2 + y^2}\end{pmatrix} \Leftarrow P_{CCS}$ |
| - | + | ===Definition - Drehung des CCS um Ursprung mit Winkel:=== | |
| - | < | + | Drehung um $\alpha$ von $CCS \Rightarrow |
| - | + | ||
| - | $P_{CCS} | + | |
| - | + | ||
| - | $P_{PCS} | + | |
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | <h4>Definition - Drehung des CCS um Ursprung mit Winkel:</ | + | |
| - | + | ||
| - | Drehung um $\alpha$ von $CCS \rarr CCS'$ : | + | |
| $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} +\cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ +\sin(\alpha) & +\cos(\alpha) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $ | $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} +\cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ +\sin(\alpha) & +\cos(\alpha) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $ | ||
| - | Rücktransformation um $\alpha$ von $CCS' \rarr CCS$ : | + | Rücktransformation um $\alpha$ von $CCS' \Rightarrow |
| $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} +\cos(\alpha) & +\sin(\alpha) \\ -\sin(\alpha) & +\cos(\alpha) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} $ | $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} +\cos(\alpha) & +\sin(\alpha) \\ -\sin(\alpha) & +\cos(\alpha) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} $ | ||
| - | + | ===Definition - Lokales Planeten-(Hilfs-)Koordinatensystem=== | |
| - | <h4>Definition - Lokales Planeten-(Hilfs-)Koordinatensystem</h4> | + | |
| Definition zweier senkrechter Einheitsvektoren $\vec{u}(t)$ und $\vec{w}(t)$ : | Definition zweier senkrechter Einheitsvektoren $\vec{u}(t)$ und $\vec{w}(t)$ : | ||
| - | | + | |
| + | !!!Bild!!! | ||
| Die Einheitsvektoren $\vec{u}(t)$ und $\vec{w}(t)$ unterteilen: | Die Einheitsvektoren $\vec{u}(t)$ und $\vec{w}(t)$ unterteilen: | ||
| - | - den Ortsvektor $\vec{r}(t)$ in Betrag $\|\vec{r}(t)\| = r(t)$ und Richtung $\vec{u}(t)$ | + | * den Ortsvektor $\vec{r}(t)$ in Betrag $\|\vec{r}(t)\| = r(t)$ und Richtung $\vec{u}(t)$ |
| - | - den Geschwindigkeitsvektor $\vec{v}(t)$ in Betrag $\|\vec{v}(t)\| = v(t)$ und Richtung $\vec{w}(t)$ | + | |
| - | <h5>Einheitsvektor Ort</h5> | + | === Einheitsvektor Ort === |
| Einheitsvektor Ort: $\vec{u}(t) = \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \end{pmatrix}$ | Einheitsvektor Ort: $\vec{u}(t) = \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \end{pmatrix}$ | ||
| + | |||
| $\vec{u}(t) = \dfrac{\vec{r(t)}}{r(t)} = \begin{pmatrix} \cos(\varphi(t)) \\ \sin(\varphi(t)) \end{pmatrix}$ | $\vec{u}(t) = \dfrac{\vec{r(t)}}{r(t)} = \begin{pmatrix} \cos(\varphi(t)) \\ \sin(\varphi(t)) \end{pmatrix}$ | ||
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| - | <h5>Einheitsvektor Geschwindigkeit</h5> | + | === Einheitsvektor Geschwindigkeit |
| Einheitsvektor Geschwindigkeit: | Einheitsvektor Geschwindigkeit: | ||
| - | Drehung | + | Drehung |
| $\begin{pmatrix} w_x \\ w_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} +\cos(\dfrac{\pi}{2}) & -\sin(\dfrac{\pi}{2}) \\ +\sin(\dfrac{\pi}{2}) & +\cos(\dfrac{\pi}{2}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \end{pmatrix} $ | $\begin{pmatrix} w_x \\ w_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} +\cos(\dfrac{\pi}{2}) & -\sin(\dfrac{\pi}{2}) \\ +\sin(\dfrac{\pi}{2}) & +\cos(\dfrac{\pi}{2}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \end{pmatrix} $ | ||
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| - | <h4>Definition - Variablen Geschwindigkeit und Beschleunigung</ | + | ==== Definition - Variablen Geschwindigkeit und Beschleunigung |
| - | + | ||
| - | < | + | |
| + | === Geschwindigkeit === | ||
| als Zeit-Ableitung des Ortes nach der Zeit: | als Zeit-Ableitung des Ortes nach der Zeit: | ||
| + | |||
| $\vec{v}(t) := \dfrac{d\vec{r}(t)}{dt} =: \dot{\vec{r}}(t)$ | $\vec{v}(t) := \dfrac{d\vec{r}(t)}{dt} =: \dot{\vec{r}}(t)$ | ||
| - | <h5>Beschleunigung</ | + | === Beschleunigung |
| als Zeit-Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit: | als Zeit-Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit: | ||
| + | |||
| $\vec{a}(t) := \dfrac{d\vec{v}(t)}{dt} =: \dot{\vec{v}}(t) = \ddot{\vec{r}}(t)$ | $\vec{a}(t) := \dfrac{d\vec{v}(t)}{dt} =: \dot{\vec{v}}(t) = \ddot{\vec{r}}(t)$ | ||
| - | --- | + | ----- |
| ===== Herleitungen ===== | ===== Herleitungen ===== | ||
| Line 138: | Line 132: | ||
| Aufspaltung des Ortsvektor nach Produkt von Betrag und Richtung: | Aufspaltung des Ortsvektor nach Produkt von Betrag und Richtung: | ||
| + | |||
| $\vec{r}(t) = \|\vec{r}(t)\| \cdot \vec{u}(t) = r(t) \cdot \vec{u}(t)$ | $\vec{r}(t) = \|\vec{r}(t)\| \cdot \vec{u}(t) = r(t) \cdot \vec{u}(t)$ | ||
| Grund: bei Berechnung von Geschwindigkeit und Beschleunigung als Ableitung(en) des Ortsvektors nach der Zeit werden Betrag und Richtung (durch Produktregel) separiert: | Grund: bei Berechnung von Geschwindigkeit und Beschleunigung als Ableitung(en) des Ortsvektors nach der Zeit werden Betrag und Richtung (durch Produktregel) separiert: | ||
| + | |||
| $\vec{v}(t) = \dfrac{d\vec{r}(t)}{dt} = \dfrac{d}{dt}(r(t) \cdot \vec{u}(t)) = \dot{r}(t) \cdot \vec{u}(t) + r(t) \cdot \dot{\vec{u}}(t)$ | $\vec{v}(t) = \dfrac{d\vec{r}(t)}{dt} = \dfrac{d}{dt}(r(t) \cdot \vec{u}(t)) = \dot{r}(t) \cdot \vec{u}(t) + r(t) \cdot \dot{\vec{u}}(t)$ | ||
| mit $\dot{\vec{u}}(t) = \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t)$ folgt: | mit $\dot{\vec{u}}(t) = \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t)$ folgt: | ||
| + | |||
| $\vec{v}(t) = \dot{r}(t) \vec{u}(t) + r(t) \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t)$ | $\vec{v}(t) = \dot{r}(t) \vec{u}(t) + r(t) \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t)$ | ||
| ebenso die Beschleunigung: | ebenso die Beschleunigung: | ||
| + | |||
| $\vec{a}(t) = \dot{\vec{v}}(t) = \dfrac{d}{dt}[\dot{r}(t) \vec{u}(t) + r(t) \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t)]$ | $\vec{a}(t) = \dot{\vec{v}}(t) = \dfrac{d}{dt}[\dot{r}(t) \vec{u}(t) + r(t) \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t)]$ | ||
module/mathematik/nkoerperproblem.1638902528.txt.gz · Last modified: 2021/12/07 20:42 (external edit)