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module:mathematik:nkoerperproblem

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module:mathematik:nkoerperproblem [2021/12/07 19:49] – [Definitionen] omdevelopmodule:mathematik:nkoerperproblem [2022/09/13 11:58] (current) – external edit 127.0.0.1
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 ====== N-Körper-Problem ====== ====== N-Körper-Problem ======
- 
-===== Quellen ===== 
 [[http://www.openhardsoftware.de/ | Open Hard- & Software]] [[http://www.openhardsoftware.de/ | Open Hard- & Software]]
 [ [
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 ] ]
  
 +===== Quellen =====
 Prof.Dr. Edmund Weitz, HAW Hamburg: [[ https://www.youtube.com/watch?v=IExxH1YGM3Y | Kepler, Newton und das Dreikörperproblem]] Prof.Dr. Edmund Weitz, HAW Hamburg: [[ https://www.youtube.com/watch?v=IExxH1YGM3Y | Kepler, Newton und das Dreikörperproblem]]
  
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 Definition zweier senkrechter Einheitsvektoren $\vec{u}(t)$ und $\vec{w}(t)$ : Definition zweier senkrechter Einheitsvektoren $\vec{u}(t)$ und $\vec{w}(t)$ :
-    Bild!+ 
 +!!!Bild!!!
  
 Die Einheitsvektoren $\vec{u}(t)$ und $\vec{w}(t)$ unterteilen: Die Einheitsvektoren $\vec{u}(t)$ und $\vec{w}(t)$ unterteilen:
-- den Ortsvektor $\vec{r}(t)$ in Betrag $\|\vec{r}(t)\| = r(t)$ und Richtung $\vec{u}(t)$ +  * den Ortsvektor $\vec{r}(t)$ in Betrag $\|\vec{r}(t)\| = r(t)$ und Richtung $\vec{u}(t)$ 
-- den Geschwindigkeitsvektor $\vec{v}(t)$ in Betrag $\|\vec{v}(t)\| = v(t)$ und Richtung $\vec{w}(t)$+  * den Geschwindigkeitsvektor $\vec{v}(t)$ in Betrag $\|\vec{v}(t)\| = v(t)$ und Richtung $\vec{w}(t)$
  
 === Einheitsvektor Ort === === Einheitsvektor Ort ===
  
 Einheitsvektor Ort: $\vec{u}(t) = \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \end{pmatrix}$ Einheitsvektor Ort: $\vec{u}(t) = \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \end{pmatrix}$
 +
 $\vec{u}(t) = \dfrac{\vec{r(t)}}{r(t)} = \begin{pmatrix} \cos(\varphi(t)) \\ \sin(\varphi(t)) \end{pmatrix}$ $\vec{u}(t) = \dfrac{\vec{r(t)}}{r(t)} = \begin{pmatrix} \cos(\varphi(t)) \\ \sin(\varphi(t)) \end{pmatrix}$
  
Line 90: Line 91:
 Einheitsvektor Geschwindigkeit: $\vec{w}(t) = \begin{pmatrix} w_x \\ w_y \end{pmatrix}$ Einheitsvektor Geschwindigkeit: $\vec{w}(t) = \begin{pmatrix} w_x \\ w_y \end{pmatrix}$
  
-Drehung  $\vec{u}(t)$ um $+\dfrac{\pi}{2} : \vec{u}(t) \rarr \vec{w}(t)$+Drehung  $\vec{u}(t)$ um $+\dfrac{\pi}{2} : \vec{u}(t) \Rightarrow \vec{w}(t)$
  
 $\begin{pmatrix} w_x \\ w_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} +\cos(\dfrac{\pi}{2}) & -\sin(\dfrac{\pi}{2}) \\ +\sin(\dfrac{\pi}{2}) & +\cos(\dfrac{\pi}{2}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \end{pmatrix} $ $\begin{pmatrix} w_x \\ w_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} +\cos(\dfrac{\pi}{2}) & -\sin(\dfrac{\pi}{2}) \\ +\sin(\dfrac{\pi}{2}) & +\cos(\dfrac{\pi}{2}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \end{pmatrix} $
Line 114: Line 115:
  
 === Geschwindigkeit === === Geschwindigkeit ===
- 
 als Zeit-Ableitung des Ortes nach der Zeit: als Zeit-Ableitung des Ortes nach der Zeit:
 +
 $\vec{v}(t) := \dfrac{d\vec{r}(t)}{dt} =: \dot{\vec{r}}(t)$ $\vec{v}(t) := \dfrac{d\vec{r}(t)}{dt} =: \dot{\vec{r}}(t)$
  
  
 === Beschleunigung === === Beschleunigung ===
- 
 als Zeit-Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit: als Zeit-Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit:
 +
 $\vec{a}(t) := \dfrac{d\vec{v}(t)}{dt} =: \dot{\vec{v}}(t) = \ddot{\vec{r}}(t)$ $\vec{a}(t) := \dfrac{d\vec{v}(t)}{dt} =: \dot{\vec{v}}(t) = \ddot{\vec{r}}(t)$
  
----+-----
  
 ===== Herleitungen ===== ===== Herleitungen =====
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 Aufspaltung des Ortsvektor nach Produkt von Betrag und Richtung: Aufspaltung des Ortsvektor nach Produkt von Betrag und Richtung:
 +
 $\vec{r}(t) = \|\vec{r}(t)\| \cdot \vec{u}(t) = r(t) \cdot \vec{u}(t)$ $\vec{r}(t) = \|\vec{r}(t)\| \cdot \vec{u}(t) = r(t) \cdot \vec{u}(t)$
  
 Grund: bei Berechnung von Geschwindigkeit und Beschleunigung als Ableitung(en) des Ortsvektors nach der Zeit werden Betrag und Richtung (durch Produktregel) separiert: Grund: bei Berechnung von Geschwindigkeit und Beschleunigung als Ableitung(en) des Ortsvektors nach der Zeit werden Betrag und Richtung (durch Produktregel) separiert:
 +
 $\vec{v}(t) = \dfrac{d\vec{r}(t)}{dt} = \dfrac{d}{dt}(r(t) \cdot \vec{u}(t)) = \dot{r}(t) \cdot \vec{u}(t) + r(t) \cdot \dot{\vec{u}}(t)$ $\vec{v}(t) = \dfrac{d\vec{r}(t)}{dt} = \dfrac{d}{dt}(r(t) \cdot \vec{u}(t)) = \dot{r}(t) \cdot \vec{u}(t) + r(t) \cdot \dot{\vec{u}}(t)$
  
 mit $\dot{\vec{u}}(t) = \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t)$ folgt: mit $\dot{\vec{u}}(t) = \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t)$ folgt:
 +
 $\vec{v}(t) = \dot{r}(t) \vec{u}(t) + r(t) \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t)$ $\vec{v}(t) = \dot{r}(t) \vec{u}(t) + r(t) \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t)$
  
 ebenso die Beschleunigung: ebenso die Beschleunigung:
 +
 $\vec{a}(t) = \dot{\vec{v}}(t) = \dfrac{d}{dt}[\dot{r}(t) \vec{u}(t) + r(t) \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t)]$ $\vec{a}(t) = \dot{\vec{v}}(t) = \dfrac{d}{dt}[\dot{r}(t) \vec{u}(t) + r(t) \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t)]$
  
module/mathematik/nkoerperproblem.1638902968.txt.gz · Last modified: 2021/12/07 20:49 (external edit)