====== N-Körper-Problem ====== [[http://www.openhardsoftware.de/ | Open Hard- & Software]] [ [[http://www.openhardsoftware.de/dokuwiki | DokuWiki]] [[http://www.openhardsoftware.de/websites | WebSites]] [[http://www.openhardsoftware.de/mediawiki | MediaWiki]] [[http://www.openhardsoftware.de/nextcloud | NextCloud]] ] ===== Quellen ===== Prof.Dr. Edmund Weitz, HAW Hamburg: [[ https://www.youtube.com/watch?v=IExxH1YGM3Y | Kepler, Newton und das Dreikörperproblem]] ===== Vorgaben ===== ==== Newtonsche Axiome ==== * Kräftefreie Masse bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit. * Kraft gleich Masse mal Beschleunigung. * Kraft erzeugt Gegenkraft - Kraft auf Masse A erzeugt Gegenkraft mit gleichem Betrag und umgekehrter Richtung. (1.) $\vec{F} = \vec{0} \enspace\Rightarrow\enspace \vec{a} = \vec{0} \enspace\Rightarrow\enspace \dfrac{d\vec{v}}{dt} = \vec{0} \enspace\Rightarrow\enspace \vec{v} = const$ (2.) $\vec{F} = m \cdot \vec{a}$ (3.) $\vec{F}_{ab} = -\vec{F}_{ba}$ ==== Gravitationsgesetz ==== $\vec{F}_{m_1 m_2} = G \dfrac{m_1 m_2}{r_{m_1 m_2}^3} \cdot \vec{r}_{m_1 m_2}$ $\vec{F}_{m_1 m_2} = G \dfrac{m_1 m_2}{r_{m_1 m_2}^2} \cdot \vec{e}_{r_{m_1 m_2}}$ ==== Annahmen ==== * - Zwei Massen bewegen sich immer in einer Ebene * - Es gibt nur Kräfte in Richtung der Verbindungsvektoren der Massen * - Drehimpuls bleibt erhalten und damit konstant: $\vec{L} = C (\vec{r} \times \vec{v})$ , $\dfrac{d\vec{L}}{dt} = \vec{0}$ ==== Definitionen ==== === Definition - Punkt in Polarkoordinaten:=== $P_{PCS} = P(\varphi(t), r(t))$ ===Definition - Punkt in Kartesischen Koordinaten:=== $P_{CCS} = P(x(t), y(t))$. ===Definition - Umrechnung von PCS nach CCS:=== $P_{CCS} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r \cos(\varphi) \\ r sin(\varphi) \end{pmatrix} \Leftarrow P_{PCS}$ $P_{PCS} = \begin{pmatrix} \varphi \\ r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \arctan(\dfrac{y}{x})\\ \sqrt{x^2 + y^2}\end{pmatrix} \Leftarrow P_{CCS}$ ===Definition - Drehung des CCS um Ursprung mit Winkel:=== Drehung um $\alpha$ von $CCS \Rightarrow CCS'$ : $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} +\cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ +\sin(\alpha) & +\cos(\alpha) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $ Rücktransformation um $\alpha$ von $CCS' \Rightarrow CCS$ : $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} +\cos(\alpha) & +\sin(\alpha) \\ -\sin(\alpha) & +\cos(\alpha) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} $ ===Definition - Lokales Planeten-(Hilfs-)Koordinatensystem=== Definition zweier senkrechter Einheitsvektoren $\vec{u}(t)$ und $\vec{w}(t)$ : !!!Bild!!! Die Einheitsvektoren $\vec{u}(t)$ und $\vec{w}(t)$ unterteilen: * den Ortsvektor $\vec{r}(t)$ in Betrag $\|\vec{r}(t)\| = r(t)$ und Richtung $\vec{u}(t)$ * den Geschwindigkeitsvektor $\vec{v}(t)$ in Betrag $\|\vec{v}(t)\| = v(t)$ und Richtung $\vec{w}(t)$ === Einheitsvektor Ort === Einheitsvektor Ort: $\vec{u}(t) = \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \end{pmatrix}$ $\vec{u}(t) = \dfrac{\vec{r(t)}}{r(t)} = \begin{pmatrix} \cos(\varphi(t)) \\ \sin(\varphi(t)) \end{pmatrix}$ Ableitungen des Orts-Einheitsvektors $\vec{u}(t)$ nach der Zeit: $\dfrac{d\vec{u}(t)}{dt} = \dfrac{d}{dt} \begin{pmatrix} \cos(\varphi(t)) \\ \sin(\varphi(t)) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\dfrac{d\varphi(t)}{dt}\sin(\varphi(t)) \\ +\dfrac{d\varphi(t)}{dt}\cos(\varphi(t)) \end{pmatrix} = \dfrac{d\varphi(t)}{dt}\begin{pmatrix} -\sin(\varphi(t)) \\ +\cos(\varphi(t)) \end{pmatrix} = \dfrac{d\varphi(t)}{dt} \vec{w}(t)$ Kurzschreibweise: $\dot{\vec{u}}(t) = \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t)$ === Einheitsvektor Geschwindigkeit === Einheitsvektor Geschwindigkeit: $\vec{w}(t) = \begin{pmatrix} w_x \\ w_y \end{pmatrix}$ Drehung $\vec{u}(t)$ um $+\dfrac{\pi}{2} : \vec{u}(t) \Rightarrow \vec{w}(t)$ $\begin{pmatrix} w_x \\ w_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} +\cos(\dfrac{\pi}{2}) & -\sin(\dfrac{\pi}{2}) \\ +\sin(\dfrac{\pi}{2}) & +\cos(\dfrac{\pi}{2}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \end{pmatrix} $ $\begin{pmatrix} w_x \\ w_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ +1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \end{pmatrix} $ $\begin{pmatrix} w_x \\ w_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ +1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos(\varphi(t)) \\ \sin(\varphi(t)) \end{pmatrix} $ $\vec{w}(t) = \begin{pmatrix} -\sin(\varphi(t)) \\ \cos(\varphi(t)) \end{pmatrix}$ Ableitungen des Geschwindigkeits-Einheitsvektors $\vec{w}(t)$ nach der Zeit: $\dfrac{d\vec{w}(t)}{dt} = \dfrac{d}{dt} \begin{pmatrix} -\sin(\varphi(t)) \\ +\cos(\varphi(t)) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\dfrac{d\varphi(t)}{dt}\cos(\varphi(t)) \\ -\dfrac{d\varphi(t)}{dt}\sin(\varphi(t)) \end{pmatrix} = \dfrac{d\varphi(t)}{dt}\begin{pmatrix} -\cos(\varphi(t)) \\ -\sin(\varphi(t)) \end{pmatrix} = -\dfrac{d\varphi(t)}{dt} \vec{u}(t)$ Kurzschreibweise: $\dot{\vec{w}}(t) = -\dot{\varphi}(t) \vec{u}(t)$ ==== Definition - Variablen Geschwindigkeit und Beschleunigung ==== === Geschwindigkeit === als Zeit-Ableitung des Ortes nach der Zeit: $\vec{v}(t) := \dfrac{d\vec{r}(t)}{dt} =: \dot{\vec{r}}(t)$ === Beschleunigung === als Zeit-Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit: $\vec{a}(t) := \dfrac{d\vec{v}(t)}{dt} =: \dot{\vec{v}}(t) = \ddot{\vec{r}}(t)$ ----- ===== Herleitungen ===== ==== Herleitung: Bewegungsgleichung der Massen ==== Aufspaltung des Ortsvektor nach Produkt von Betrag und Richtung: $\vec{r}(t) = \|\vec{r}(t)\| \cdot \vec{u}(t) = r(t) \cdot \vec{u}(t)$ Grund: bei Berechnung von Geschwindigkeit und Beschleunigung als Ableitung(en) des Ortsvektors nach der Zeit werden Betrag und Richtung (durch Produktregel) separiert: $\vec{v}(t) = \dfrac{d\vec{r}(t)}{dt} = \dfrac{d}{dt}(r(t) \cdot \vec{u}(t)) = \dot{r}(t) \cdot \vec{u}(t) + r(t) \cdot \dot{\vec{u}}(t)$ mit $\dot{\vec{u}}(t) = \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t)$ folgt: $\vec{v}(t) = \dot{r}(t) \vec{u}(t) + r(t) \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t)$ ebenso die Beschleunigung: $\vec{a}(t) = \dot{\vec{v}}(t) = \dfrac{d}{dt}[\dot{r}(t) \vec{u}(t) + r(t) \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t)]$ $\vec{a}(t) = \dfrac{d}{dt}[\dot{r}(t) \vec{u}(t)] + \dfrac{d}{dt}[r(t) \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t)]$ $\dfrac{d}{dt}[\dot{r}(t) \vec{u}(t)] = \ddot{r}(t) \vec{u}(t) + \dot{r}(t) \dot{\vec{u}}(t)$ und $\dfrac{d}{dt}[r(t) \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t)] = \dot{r}(t) \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t) + r(t) \ddot{\varphi}(t) \vec{w}(t) + r(t) \dot{\varphi}(t) \dot{\vec{w}}(t)$ $\vec{a}(t) = [\ddot{r}(t) \vec{u}(t) + \dot{r}(t) \dot{\vec{u}}(t)] + [\dot{r}(t) \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t) + r(t) \ddot{\varphi}(t) \vec{w}(t) + r(t) \dot{\varphi}(t) \dot{\vec{w}}(t)]$ Mit $\dot{\vec{u}}(t) = \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t)$ und $\dot{\vec{w}}(t) = -\dot{\varphi}(t) \vec{u}(t)$ folgt: $\vec{a}(t) = [\ddot{r}(t) \vec{u}(t) + \dot{r}(t) \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t)] + [\dot{r}(t) \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t) + r(t) \ddot{\varphi}(t) \vec{w}(t) - r(t) \dot{\varphi}(t) \dot{\varphi}(t) \vec{u}(t)]$ $\vec{a}(t) = \ddot{r}(t) \vec{u}(t) + 2\dot{r}(t) \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t) +r(t) \ddot{\varphi}(t) \vec{w}(t) - r(t) \dot{\varphi}^2(t) \vec{u}(t)$ $\vec{a}(t) = \vec{u}(t)[\ddot{r}(t) - r(t) \dot{\varphi}^2(t)] + \vec{w}(t)[2 \dot{r}(t) \dot{\varphi}(t) + r(t) \ddot{\varphi}(t)]$ Trick: $\dfrac{d}{dt}[a^2(t) \dot{b}(t)] = 2 a(t) \dot{a}(t)\dot{b}(t) + a^2(t) \ddot{b}(t) = a(t)[2 \dot{a}(t)\dot{b}(t) + a(t) \ddot{b}(t)]$ Damit: $\dfrac{1}{a(t)}\dfrac{d}{dt}[a^2(t) \dot{b}(t)] = \dfrac{a(t)}{a(t)}[2 \dot{a}(t)\dot{b}(t) + a(t) \ddot{b}(t)] = 2 \dot{a}(t)\dot{b}(t) + a(t) \ddot{b}(t)$ Damit: $[2 \dot{r}(t) \dot{\varphi}(t) + r(t) \ddot{\varphi}(t)] = \dfrac{1}{r(t)}\dfrac{d}{dt}[r^2(t) \dot{\varphi}(t)]$ Damit: $\vec{a}(t) = \vec{u}(t)[\ddot{r}(t) - r(t) \dot{\varphi}^2(t)] + \vec{w}(t)[\dfrac{1}{r(t)}\dfrac{d}{dt}[r^2(t) \dot{\varphi}(t)]$ Da Kraft und damit Beschleunigung nur radial wirkt, muss die $\vec{w}(t)$-Komponente Null sein: $0 = \dfrac{1}{r(t)}\dfrac{d}{dt}[r^2(t) \dot{\varphi}(t)]$ und damit muss $r^2(t) \dot{\varphi}(t)$ zeitlich konstant sein!!! ===== Ergebnisse ===== ----- [[http://www.openhardsoftware.de/ | Open Hard- & Software]] [ [[http://www.openhardsoftware.de/dokuwiki | DokuWiki]] [[http://www.openhardsoftware.de/websites | WebSites]] [[http://www.openhardsoftware.de/mediawiki | MediaWiki]] [[http://www.openhardsoftware.de/nextcloud | NextCloud]] ]