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Prof.Dr. Edmund Weitz, HAW Hamburg: Kepler, Newton und das Dreikörperproblem

• Kräftefreie Masse bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit.</li>
• Kraft gleich Masse mal Beschleunigung.</li>
• Kraft erzeugt Gegenkraft - Kraft auf Masse A erzeugt Gegenkraft mit gleichem Betrag und umgekehrter Richtung.

(1.) $\vec{F} = \vec{0} \enspace\Rightarrow\enspace \vec{a} = \vec{0} \enspace\Rightarrow\enspace \dfrac{d\vec{v}}{dt} = \vec{0} \enspace\Rightarrow\enspace \vec{v} = const$

(2.) $\vec{F} = m \cdot \vec{a}$

(3.) $\vec{F}_{ab} = -\vec{F}_{ba}$

$\vec{F}_{m_1 m_2} = G \dfrac{m_1 m_2}{r_{m_1 m_2}^3} \cdot \vec{r}_{m_1 m_2}$

$\vec{F}_{m_1 m_2} = G \dfrac{m_1 m_2}{r_{m_1 m_2}^2} \cdot \vec{e}_{r_{m_1 m_2}}$

• - Zwei Massen bewegen sich immer in einer Ebene
• - Es gibt nur Kräfte in Richtung der Verbindungsvektoren der Massen
• - Drehimpuls bleibt erhalten und damit konstant:

$\vec{L} = C (\vec{r} \times \vec{v})$ , $\dfrac{d\vec{L}}{dt} = \vec{0}$

Definition - Punkt in Polarkoordinaten: $P_{PCS} = P(\varphi(t), r(t))$

Definition - Punkt in Kartesischen Koordinaten: $P_{CCS} = P(x(t), y(t))$.

Definition - Umrechnung von PCS nach CCS: $P_{CCS} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r \cos(\varphi) \\ r sin(\varphi) \end{pmatrix} \larr P_{PCS}$

$P_{PCS} = \begin{pmatrix} \varphi \\ r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \arctan(\dfrac{y}{x})\\ \sqrt{x^2 + y^2}\end{pmatrix} \larr P_{CCS}$

Definition - Drehung des CCS um Ursprung mit Winkel: Drehung um $\alpha$ von $CCS \rarr CCS'$ : $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} +\cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ +\sin(\alpha) & +\cos(\alpha) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

Rücktransformation um $\alpha$ von $CCS' \Rightarrow CCS$ : $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} +\cos(\alpha) & +\sin(\alpha) \\ -\sin(\alpha) & +\cos(\alpha) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$

Definition - Lokales Planeten-(Hilfs-)Koordinatensystem

Definition zweier senkrechter Einheitsvektoren $\vec{u}(t)$ und $\vec{w}(t)$ :

  Bild!

Die Einheitsvektoren $\vec{u}(t)$ und $\vec{w}(t)$ unterteilen: - den Ortsvektor $\vec{r}(t)$ in Betrag $\|\vec{r}(t)\| = r(t)$ und Richtung $\vec{u}(t)$ - den Geschwindigkeitsvektor $\vec{v}(t)$ in Betrag $\|\vec{v}(t)\| = v(t)$ und Richtung $\vec{w}(t)$

<h5>Einheitsvektor Ort</h5>

Einheitsvektor Ort: $\vec{u}(t) = \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \end{pmatrix}$ $\vec{u}(t) = \dfrac{\vec{r(t)}}{r(t)} = \begin{pmatrix} \cos(\varphi(t)) \\ \sin(\varphi(t)) \end{pmatrix}$

Ableitungen des Orts-Einheitsvektors $\vec{u}(t)$ nach der Zeit:

$\dfrac{d\vec{u}(t)}{dt} = \dfrac{d}{dt} \begin{pmatrix} \cos(\varphi(t)) \\ \sin(\varphi(t)) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\dfrac{d\varphi(t)}{dt}\sin(\varphi(t)) \\ +\dfrac{d\varphi(t)}{dt}\cos(\varphi(t)) \end{pmatrix} = \dfrac{d\varphi(t)}{dt}\begin{pmatrix} -\sin(\varphi(t)) \\ +\cos(\varphi(t)) \end{pmatrix} = \dfrac{d\varphi(t)}{dt} \vec{w}(t)$

Kurzschreibweise: $\dot{\vec{u}}(t) = \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t)$

<h5>Einheitsvektor Geschwindigkeit</h5>

Einheitsvektor Geschwindigkeit: $\vec{w}(t) = \begin{pmatrix} w_x \\ w_y \end{pmatrix}$

Drehung $\vec{u}(t)$ um $+\dfrac{\pi}{2} : \vec{u}(t) \rarr \vec{w}(t)$

$\begin{pmatrix} w_x \\ w_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} +\cos(\dfrac{\pi}{2}) & -\sin(\dfrac{\pi}{2}) \\ +\sin(\dfrac{\pi}{2}) & +\cos(\dfrac{\pi}{2}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} w_x \\ w_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ +1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} w_x \\ w_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ +1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos(\varphi(t)) \\ \sin(\varphi(t)) \end{pmatrix}$

$\vec{w}(t) = \begin{pmatrix} -\sin(\varphi(t)) \\ \cos(\varphi(t)) \end{pmatrix}$

Ableitungen des Geschwindigkeits-Einheitsvektors $\vec{w}(t)$ nach der Zeit:

$\dfrac{d\vec{w}(t)}{dt} = \dfrac{d}{dt} \begin{pmatrix} -\sin(\varphi(t)) \\ +\cos(\varphi(t)) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\dfrac{d\varphi(t)}{dt}\cos(\varphi(t)) \\ -\dfrac{d\varphi(t)}{dt}\sin(\varphi(t)) \end{pmatrix} = \dfrac{d\varphi(t)}{dt}\begin{pmatrix} -\cos(\varphi(t)) \\ -\sin(\varphi(t)) \end{pmatrix} = -\dfrac{d\varphi(t)}{dt} \vec{u}(t)$

Kurzschreibweise: $\dot{\vec{w}}(t) = -\dot{\varphi}(t) \vec{u}(t)$

<h4>Definition - Variablen Geschwindigkeit und Beschleunigung</h4>

<h5>Geschwindigkeit</h5>

als Zeit-Ableitung des Ortes nach der Zeit: $\vec{v}(t) := \dfrac{d\vec{r}(t)}{dt} =: \dot{\vec{r}}(t)$

<h5>Beschleunigung</h5>

als Zeit-Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit: $\vec{a}(t) := \dfrac{d\vec{v}(t)}{dt} =: \dot{\vec{v}}(t) = \ddot{\vec{r}}(t)$

—

Aufspaltung des Ortsvektor nach Produkt von Betrag und Richtung: $\vec{r}(t) = \|\vec{r}(t)\| \cdot \vec{u}(t) = r(t) \cdot \vec{u}(t)$

Grund: bei Berechnung von Geschwindigkeit und Beschleunigung als Ableitung(en) des Ortsvektors nach der Zeit werden Betrag und Richtung (durch Produktregel) separiert: $\vec{v}(t) = \dfrac{d\vec{r}(t)}{dt} = \dfrac{d}{dt}(r(t) \cdot \vec{u}(t)) = \dot{r}(t) \cdot \vec{u}(t) + r(t) \cdot \dot{\vec{u}}(t)$

mit $\dot{\vec{u}}(t) = \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t)$ folgt: $\vec{v}(t) = \dot{r}(t) \vec{u}(t) + r(t) \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t)$

ebenso die Beschleunigung: $\vec{a}(t) = \dot{\vec{v}}(t) = \dfrac{d}{dt}[\dot{r}(t) \vec{u}(t) + r(t) \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t)]$

$\vec{a}(t) = \dfrac{d}{dt}[\dot{r}(t) \vec{u}(t)] + \dfrac{d}{dt}[r(t) \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t)]$

$\dfrac{d}{dt}[\dot{r}(t) \vec{u}(t)] = \ddot{r}(t) \vec{u}(t) + \dot{r}(t) \dot{\vec{u}}(t)$ und $\dfrac{d}{dt}[r(t) \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t)] = \dot{r}(t) \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t) + r(t) \ddot{\varphi}(t) \vec{w}(t) + r(t) \dot{\varphi}(t) \dot{\vec{w}}(t)$

$\vec{a}(t) = [\ddot{r}(t) \vec{u}(t) + \dot{r}(t) \dot{\vec{u}}(t)] + [\dot{r}(t) \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t) + r(t) \ddot{\varphi}(t) \vec{w}(t) + r(t) \dot{\varphi}(t) \dot{\vec{w}}(t)]$

Mit $\dot{\vec{u}}(t) = \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t)$ und $\dot{\vec{w}}(t) = -\dot{\varphi}(t) \vec{u}(t)$ folgt:

$\vec{a}(t) = [\ddot{r}(t) \vec{u}(t) + \dot{r}(t) \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t)] + [\dot{r}(t) \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t) + r(t) \ddot{\varphi}(t) \vec{w}(t) - r(t) \dot{\varphi}(t) \dot{\varphi}(t) \vec{u}(t)]$

$\vec{a}(t) = \ddot{r}(t) \vec{u}(t) + 2\dot{r}(t) \dot{\varphi}(t) \vec{w}(t) +r(t) \ddot{\varphi}(t) \vec{w}(t) - r(t) \dot{\varphi}^2(t) \vec{u}(t)$

$\vec{a}(t) = \vec{u}(t)[\ddot{r}(t) - r(t) \dot{\varphi}^2(t)] + \vec{w}(t)[2 \dot{r}(t) \dot{\varphi}(t) + r(t) \ddot{\varphi}(t)]$

Trick: $\dfrac{d}{dt}[a^2(t) \dot{b}(t)] = 2 a(t) \dot{a}(t)\dot{b}(t) + a^2(t) \ddot{b}(t) = a(t)[2 \dot{a}(t)\dot{b}(t) + a(t) \ddot{b}(t)]$

Damit: $\dfrac{1}{a(t)}\dfrac{d}{dt}[a^2(t) \dot{b}(t)] = \dfrac{a(t)}{a(t)}[2 \dot{a}(t)\dot{b}(t) + a(t) \ddot{b}(t)] = 2 \dot{a}(t)\dot{b}(t) + a(t) \ddot{b}(t)$

Damit: $[2 \dot{r}(t) \dot{\varphi}(t) + r(t) \ddot{\varphi}(t)] = \dfrac{1}{r(t)}\dfrac{d}{dt}[r^2(t) \dot{\varphi}(t)]$

Damit: $\vec{a}(t) = \vec{u}(t)[\ddot{r}(t) - r(t) \dot{\varphi}^2(t)] + \vec{w}(t)[\dfrac{1}{r(t)}\dfrac{d}{dt}[r^2(t) \dot{\varphi}(t)]$

Da Kraft und damit Beschleunigung nur radial wirkt, muss die $\vec{w}(t)$-Komponente Null sein:

$0 = \dfrac{1}{r(t)}\dfrac{d}{dt}[r^2(t) \dot{\varphi}(t)]$ und damit muss $r^2(t) \dot{\varphi}(t)$ zeitlich konstant sein!!!

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