Erdbewohner : Leben in der Stadt oder auf dem Land
- Leben in Siedlungen durch soziale und technische Evolution entwickelt
- was sind die Regeln/Gesetze dieser Evolution?
- Regeln/Gesetze dieser Evolution resultieren aus den Naturwissenschaften
- weitere Handwerkzeuge : Mathematik, Philosophie
Leben auf der Erde - Naturgesetze
Blick in die Natur : Wissenschaft formuliert Regeln als Naturgesetze
- Versuch, die Regeln der Natur zu finden : Naturgesetze
- Grouml;ssen wie Masse, Länge, Fläche, Raum, Zeit wechelwirken in diesen Naturgesetzen
- unverzichtbar: mathematische Sätze/Beweise
- Naturgesetze der Physik und Mathematik : eindeutige und reproduzierbare Beschreibung
des Verhaltens und der Wechselwirkung von physikalischen Grössen!
Gültigkeit von mathematischen Gesetzen
- jeder mathematische Satz(Behauptung) muss durch einen Beweis bewiesen werden!
- dieser Satz/Beweis ist damit an jedem Ort und für alle Zeiten gültig im gesamten Universum!
Beispiel für die zeitliche Konsistenz:
Bereits vor 4000 Jahren(!) waren die Babylonier in der Lage,
Gleichungssysteme der Form $x + y = p$ und $x \cdot y = q$ zu lösen.
Die allgemeinen Lösungen sind heute immer noch gültig!
Gültigkeit von physikalischen Gesetzen
- Verifikation durch wiederholte Messungen und Auswertungen
- Naturkonstanten gelten an jedem Ort und zu jeder Zeit im Universum
- physikalische Gesetze gelten an jedem Ort und zu jeder Zeit im Universum
- gelten nur solange, bis andere Messungen/Theorien eine Korrektur der aktuellen Theorie erfordern
- damit sind physikalische Gesetze nicht allzeit gültig!
Beispiele für Naturgesetze: Newtons Axiome
0. Grundgrössen: $t : [t]=s$ : Skalar der Zeit $\vec{s} : [s]=m$ : Vektor des Ortes in Abhängigkeit der Zeit $\vec{v} : [v]=\dfrac{m}{s}$ : Vektor der Geschwindigkeit in Abhängigkeit der Zeit
$\vec{a} : [a]=\dfrac{m}{s^2}$ : Vektor der Beschleunigung in Abhängigkeit der Zeit
1. Newtonsches Axiom $\boxed{\vec{F}=0 ~~\Rightarrow~~ \vec{v} = \vec{v}(t) = constant}~~$ "Ein kräftefreier Körper der Masse $m$
bleibt in Ruhe oder bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit $v$ ."
2. Newtonsches Axiom $\boxed{\vec{F} = m \cdot \vec{a}}~~~$ "Kraft gleich Masse mal Beschleunigung."
3. Newtonsches Axiom $\boxed{\vec{F}_{A \rightarrow B} = \vec{F}_{A \leftarrow B} = -\vec{F}_{A \rightarrow B}}~~~$
"Kraft gleich Gegenkraft"
"erfährt ein Körper B (Masse B) eine Kraft $\vec{F}_{A \rightarrow B}$ von einem Körper A (Masse A), so erfährt
der Körper A eine gleich grosse aber entgegengesetzt gerichtete Kraft $\vec{F}_{B \rightarrow A}$ des Körpers B.
Beispiele für Naturgesetze: Newtons Gravitationsgesetz
Klassische Veranschaulichung der Gravitation : Newtons Gravitationsgesetz
- Gravitationsgesetz gilt überall im Universum, wenn Masse miteinander wechselwirken.
- Beobachtung: zwei Massen $M$(Sonne) und $m$(Erde) mit Abstand $r$ ziehen sich an.
- Vorgabe: Masse $M$(Sonne) zieht Masse $m$(Erde) mit der Kraft $F_M$ an.
- Symmetrie: Masse $m$(Erde) zieht $M$(Sonne) mit der Kraft $F_m$ an.
- Beobachtung: je grösser die Masse $M$, desto grösser die Kräfte $F_M$ und $F_m$ .
- Beobachtung: je grösser die Masse $m$, desto grösser die Kräfte $F_M$ und $F_m$ .
- Beobachtung: je grösser der Abstand $r$, desto kleiner die Kräfte $F_M$ und $F_m$ .
- Gesucht: mathematische Gleichungen mit den Grössen $F_M$, $F_m$, $M$, $m$, $r$ ?!
welche diese Beobachtung korrekt wiedergeben!!!
- Gravitationsgesetz in Worten: Anziehungskraft(zwischen zwei Massen) =
Gravitationskonstante * Masse1 * Masse2 / Abstand(Masse1-Masse2)
- Eindeutige klassische mathematische Formulierung in Newtons Gravitationsgesetz.
Mathematische Physik: Newtons Gravitationsgesetz als Gleichung:
$\boxed{F_1 = G \cdot \dfrac{m_1 \cdot m_2}{r^2} = F_2}$ (121)
Physikalische Grössen:
- $F_1$ : $[F_1]=N=\dfrac{kg \cdot m}{s^2}$ : Kraft auf Masse $m_1$ in Newton
- $F_2$ : $[F_2]=N=\dfrac{kg \cdot m}{s^2}$ : Kraft auf Masse $m_2$ in Newton
- $m_1$ : $[m_1]=kg$ : Masse $m_1$ in Kilogramm
- $m_2$ : $[m_2]=kg$ : Masse $m_2$ in Kilogramm
- $r$ : $[r]=m$ : Abstand Masse1 zu Masse2 in Metern
- $G=6.6743 \cdot 10^{-11} \dfrac{m^3}{kg \cdot s^2}$ : Gravitationskonstante
Finden physikalischer Gesetze durch Theorie und Experiment
Experimentelle Formulierung von physikalischen Gesetzen:
- vereinfachtes Modell eines physikalischen Systems
- Formulierung aller beteiligten physikalischen Grössen
- Abhängigkeiten dieser Grössen durch Messreihen quantifizieren
- Aufstellen der beschreibenden Gleichungen des betrachteten physikalischen Systems
- diese Gleichungen enthalten alle das System bestimmenden Grössen
Theoretische Formulierung von physikalischen Gesetzen:
- vereinfachtes Modell eines physikalischen Systems
- Formulierung aller beteiligten physikalischen Grössen
- Formulierung aller beteiligten mathematischen Abhängigkeiten
- Extraktion der Zielgleichungen mit mathematischen Methoden
- wenn möglich: Beweis der Theorie durch das Experiment!
Prüfung des Gravitationsgesetzes: Gravitationswaage
Reduktion des Planeten-Problems auf ein System mit zwei Massen:
Zwei Körper unterschiedlicher Massen kreisen um einen SchwerpunktAnimation des Zwei-Körper-Problems
- Masse Sonne : $M=1.989 \cdot 10^{30} kg$
- Masse Erde : $m=5.972 \cdot 10^{24} kg$
- Gravitationskonstante : $G=6.6743 \cdot 10^{-11} \dfrac{m^3}{kg \cdot s^2}$
- zeitabhängige Beschleunigung Sonne: $a_M$ : $[a_M]=\dfrac{m}{s^2}$
- zeitabhängige Beschleunigung Erde: $a_m$ : $[a_m]=\dfrac{m}{s^2}$
- Gravitationsgesetz Newton Kraftgleichung für Sonne: $F_m = G \cdot \dfrac{m \cdot M}{r^2}$ und $F_m = m \cdot a_M$
- Gravitationsgesetz Newton Kraftgleichung für Erde: $F_M = G \cdot \dfrac{m \cdot M}{r^2}$ und $F_M = M \cdot a_m$
- die Lösung dieser Gleichungen mit den aufgeführten Parameter führt auf
Bahnkurven in der Form von Kegelschnitten:
Zwei Körper unterschiedlicher Massen kreisen um einen Schwerpunkt
- im Brennpunkt der Kegelschnitte(Massenschwerpunkt) befindet sich die Sonne
- der Parameter $p$ gibt die Exzentrizität der Bahn an:
- $e <= 0$ : Planeten umkreisen die Sonne auf Kreisbahnen (genauer Ellipsen)
- $1 <= e$ : Kometen umkreisen die Sonne auf Parabeln oder Hyperbeln
ChatGPT : Lösung des Zwei-Körper-Problems
Aus dem Gravitationsgesetz und den Newtonschen Axiomen ergeben sich zwei Differentialgleichungen 2ter Ordnung (Massen $m$ und $M$).
Der Trick zur Transformation eines gemeinsamen Massenschwerpunkts (Masse $m_s$)
reduziert die Aufgabe zu einer Differentialgleichung 2ter Ordnung.
Deren Lösung ergibt die Bahnkurve eines Planeten $r = r(\theta)$ : $\boxed{r(\theta) = \dfrac{p}{1 + e \cos(\theta)}}$
Quelle: ChatGPT - Two-Body-Problem
