KVHS Northeim 2025 : Astronomie - eine Reise durch Raum und Zeit

Algebra - Rechengesetze

Übersicht

- Rechengesetze auf der Menge der Reellen Zahlen
- Algebraische Gleichungen

1. Elementare Rechenoperationen auf der Menge der Reellen Zahlen

Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division)

Gegeben: $x, y, a, b, c \in \mathbb{R}$ und $n \in \mathbb{N}$

Grundrechenarten - Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division
- $\boxed{a + b = c}$
- $\boxed{a - b = c}$
- $\boxed{a \cdot b = c}$
- $\boxed{a : b = c}$

Grundgesetze der Algebra
- Punktrechnung vor Strichrechnung: $2 + 3 \cdot 4 = 14$
- Klammerrechnung vor Punktrechnung: $2 \cdot(3 + 4) = 14$

2. Rechengesetze mit negativen Zahlen

$(+) \cdot (+) = +$
$(-) \cdot (-) = +$
$(+) \cdot (-) = -$
$(-) \cdot (+) = -$

Beispiel:
$(-3) \cdot (-2) = +6$
$(-5) \cdot 4 = -20$

3. Klammerregeln

Vorzeichenregel:
$-(a + b) = -a - b$
$-(a - b) = -a + b$
Ausmultiplizieren:
$a(b + c) = ab + ac$
Ausklammern:
$ab + ac = a(b + c)$

Beispiel:
$5x + 10 = 5(x + 2)$

4. Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)

Gilt für Addition und Multiplikation:

$a + b = b + a$
$a \cdot b = b \cdot a$

Beispiel:
$3 + 5 = 5 + 3 = 8$
$4 \cdot 7 = 7 \cdot 4 = 28$

5. Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz)

Gilt für Addition und Multiplikation:

$(a + b) + c = a + (b + c)$
$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

Beispiel:
$(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9$
$(2 \cdot 3) \cdot 5 = 2 \cdot (3 \cdot 5) = 30$

6. Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)

Verknüpft Multiplikation mit Addition/Subtraktion:

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$
$a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$

Beispiel:
$3 \cdot (2 + 5) = 3 \cdot 7 = 21$
$= 3 \cdot 2 + 3 \cdot 5 = 6 + 15 = 21$

7. Rechengesetze mit Potenzen

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
$(ab)^n = a^n \cdot b^n$
$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$

Beispiel:
$2^3 \cdot 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32$

8. Rechengesetze mit Wurzeln

$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$
$\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
$\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$

9. Rechengesetze mit Logarithmen

$\log_a(x \cdot y) = \log_a(x) + \log_a(y)$
$\log_a\left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_a(x) - \log_a(y)$
$\log_a(x^n) = n \cdot \log_a(x)$
$\log_b(x) = \dfrac{\log_a(x)}{\log_a(b)}$

Beispiel:
$\log_2(8 \cdot 4) = \log_2(8) + \log_2(4) = 3 + 2 = 5$

10. Binomische Formeln (Identitäten)

a) 1. Binomische Formel

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Beispiel:
$(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$

b) 2. Binomische Formel

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Beispiel:
$(x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16$

c) 3. Binomische Formel

$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

Beispiel:
$(x + 5)(x - 5) = x^2 - 25$

11. Rechenregeln für Brüche

a) Addition und Subtraktion

$\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a + b}{c} \quad (\text{nur gleiche Nenner})$

$\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad + bc}{bd} \quad (\text{bei ungleichen Nennern, Hauptnenner})$

b) Multiplikation

$\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot d}$

Beispiel:
$\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{5}{4} = \dfrac{10}{12} = \dfrac{5}{6}$

c) Division

$\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c}$

Beispiel:
$\dfrac{3}{4} \div \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{5}{2} = \dfrac{15}{8}$