KVHS Northeim 2025 : Astronomie - eine Reise durch Raum und Zeit

Algebra: Potenzen, Wurzel und Logarithmen

Überblick

Es folgt eine umfassende Übersicht über alle wichtigen Themen und Rechenregeln zu Potenzen, Wurzeln und Logarithmen mit Beispielen:

Potenzen

1. Definition

Eine Potenz ist ein Ausdruck der Form: $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ Faktoren}}$

Beispiel:

$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$

2. Grundrechenregeln für Potenzen

a) Multiplikation gleicher Basen

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

Beispiel:

$2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$

b) Division gleicher Basen

$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

Beispiel:

$\dfrac{5^6}{5^2} = 5^{6-2} = 5^4 = 625$

c) Potenz einer Potenz

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Beispiel:

$(3^2)^4 = 3^{2 \cdot 4} = 3^8 = 6561$

d) Potenz eines Produkts

$(ab)^n = a^n \cdot b^n$

Beispiel:

$(2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000$

e) Potenz eines Quotienten

$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$

Beispiel:

$\left(\dfrac{6}{2}\right)^2 = \dfrac{6^2}{2^2} = \dfrac{36}{4} = 9$

3. Spezialfälle von Potenzen

Ausdruck	Ergebnis
$a^0$	$= 1$ (für $a \ne 0$)
$a^1$	$= a$
$a^{-n}$	$= \dfrac{1}{a^n}$
$a^{1/n}$	$= \sqrt[n]{a}$

Beispiele:

$4^0 = 1$
$2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}$
$9^{1/2} = \sqrt{9} = 3$

4. Kurzform Potenzgesetze

$\boxed{x^0 = 1}$ , $\boxed{x^1 = x}$
$\boxed{a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}}$
$\boxed{x^a · x^b = x^{a+b}}$
$\boxed{x^a : x^b = x^{a−b}}$
$\boxed{(x^a)^b = x^{a·b}}$
$\boxed{x^n \cdot y^n = (x·y)^n}$
$\boxed{x^n : y^n = (x:y)^n}$

4. Zehner-Potenzen

- $\boxed{1 = 10^0}$ (0 Nullen hinter der 1)
- $\boxed{10 = 10^{+1}}$ (0 Null hinter der 1)
- $\boxed{100 = 10^{+2}}$ (2 Nullen hinter der 1)
- $\boxed{1000 = 10^{+3}}$ (3 Nullen hinter der 1)
- $\boxed{1000.(n).0 = 10^{+n}}$ (n Nullen hinter der 1)
- $\boxed{0.1 = 10^{-1}}$ (0 Nullen vor der 1)
- $\boxed{0.01 = 10^{-2}}$ (1 Nullen vor der 1)
- $\boxed{0.001 = 10^{-3}}$ (2 Nullen vor der 1)
- $\boxed{0.0.(n).01 = 10^{-n}}$ (n-1 Nullen vor der 1)
- $\boxed{1234 = 1.234\cdot10^{+3}}$
- $\boxed{0.00123 = 1.23\cdot10^{-3}}$

Wurzeln

1. Definition

Die n-te Wurzel aus einer Zahl $a$ ist die Zahl $x$, sodass gilt:

$x^n = a \quad \Leftrightarrow \quad \sqrt[n]{a} = x$

Quadratwurzel (Standardform):

$\sqrt{a} = x \quad \text{wenn } x^2 = a$

Beispiel:

$\sqrt{25} = 5 \quad \text{denn } 5^2 = 25$

2. Schreibweise als Potenz

Wurzeln lassen sich auch als Potenzen schreiben:

$\sqrt[n]{a} = a^{\dfrac{1}{n}} \quad \text{und allgemein: } \sqrt[n]{a^m} = a^{\dfrac{m}{n}}$

Beispiele:

$\sqrt{9} = 9^{1/2} = 3$
$\sqrt[3]{8^2} = 8^{2/3} = 4$

Rechenregeln mit Wurzeln

1. Produktregel

$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

Beispiel:

$\sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6 = \sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3$

2. Quotientenregel

$\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad (b \ne 0)$

Beispiel:

$\sqrt{\dfrac{16}{4}} = \sqrt{4} = 2 = \dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{4}} = \dfrac{4}{2}$

3. Wurzelziehen von Potenzen

$\sqrt[n]{a^m} = a^{\dfrac{m}{n}}$

Beispiele:

$\sqrt[3]{27^2} = 27^{2/3} = 9$
$\sqrt[4]{16} = 16^{1/4} = 2$

4. Vereinfachung von Wurzeln

Zerlege die Zahl in Faktoren, von denen du die Wurzel kennst:

Beispiel:

$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

5. Addition und Subtraktion

Nur gleichartige Wurzeln können zusammengefasst werden:

$a\sqrt{d} + b\sqrt{d} = (a + b)\sqrt{d}$

Beispiele:

$3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$
$4\sqrt{3} - \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$

Nicht zusammenfassbar:

$\sqrt{2} + \sqrt{3}$ bleibt so stehen.

6. Multiplikation und Division mit Wurzeln

a) Multiplikation:

$(a\sqrt{x}) \cdot (b\sqrt{y}) = ab\sqrt{xy}$

Beispiel:

$(2\sqrt{3}) \cdot (4\sqrt{5}) = 8\sqrt{15}$

b) Division:

$\dfrac{a\sqrt{x}}{b\sqrt{y}} = \dfrac{a}{b} \cdot \sqrt{\dfrac{x}{y}}$

Beispiel:

$\dfrac{6\sqrt{10}}{2\sqrt{5}} = 3\sqrt{2}$

7. Rationalisieren von Nennern

Wenn im Nenner eine Wurzel steht, entfernt man sie durch Rationalisieren:

a) Bei einfacher Wurzel:

$\dfrac{1}{\sqrt{a}} = \dfrac{\sqrt{a}}{a}$

Beispiel:

$\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

b) Bei binomischem Nenner (z. B. $a + \sqrt{b}$):

Multipliziere mit dem konjugierten Ausdruck:

$\dfrac{1}{a + \sqrt{b}} \cdot \dfrac{a - \sqrt{b}}{a - \sqrt{b}} = \dfrac{a - \sqrt{b}}{a^2 - b}$

Beispiel:

$\dfrac{1}{2 + \sqrt{3}} = \dfrac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \dfrac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}$

Sonderfälle & Eigenschaften

Ausdruck	Ergebnis
$\sqrt{0}$	$= 0$
$\sqrt{1}$	$= 1$
$\sqrt{a^2}$	( =	a	)
$\sqrt{a^2b}$	( =	a	\sqrt{b} )

Beispiel:

$\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5$

Logarithmen

1. Definition

Der Logarithmus zur Basis $a$ ist die Umkehrung der Potenz:

$\log_a(x) = y \quad \Leftrightarrow \quad a^y = x$

Beispiel:

$\log_2(8) = 3 \quad \text{denn } 2^3 = 8$

2. Wichtige Logarithmen

Dekadischer Logarithmus (Basis 10):

$\log(x) := \log_{10}(x)$
Natürlicher Logarithmus (Basis e):

$\ln(x) := \log_e(x)$

3. Rechenregeln für Logarithmen

a) Produktregel

$\log_a(x \cdot y) = \log_a(x) + \log_a(y)$

Beispiel:

$\log_{10}(100 \cdot 1000) = \log_{10}(100) + \log_{10}(1000) = 2 + 3 = 5$

b) Quotientenregel

$\log_a\left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_a(x) - \log_a(y)$

Beispiel:

$\log_{10}\left(\dfrac{1000}{10}\right) = 3 - 1 = 2$

c) Potenzregel

$\log_a(x^r) = r \cdot \log_a(x)$

Beispiel:

$\log_2(8^2) = 2 \cdot \log_2(8) = 2 \cdot 3 = 6$

4. Logarithmus der Basisumrechnung

$\log_b(x) = \dfrac{\log_a(x)}{\log_a(b)}$

Beispiel (Umrechnung auf Basis 10):

$\log_2(8) = \dfrac{\log_{10}(8)}{\log_{10}(2)} \approx \dfrac{0.9031}{0.3010} = 3$

5. Spezialfälle von Logarithmen

Ausdruck	Ergebnis
$\log_a(1)$	$= 0$
$\log_a(a)$	$= 1$
$\log_a(a^x)$	$= x$
$a^{\log_a(x)}$	$= x$

Beispiele:

$\log_3(1) = 0$
$\log_5(5) = 1$
$\log_2(2^7) = 7$

6. Anwendung: Gleichungen mit Logarithmen und Potenzen

Beispiel:
Löse $2^x = 16$

→ $x = \log_2(16) = 4$

Oder:

Löse $\log_3(x) = 2$

→ $x = 3^2 = 9$

7. Anwendung Logarithmen

Logarithmus
- Logarithmen sind Lösungen der Gleichung: $\boxed{a = b^x ~\Rightarrow~ x = log_b(a)}$
- $\boxed{\log(xy)=\log(x) -\log(y)}$
- $\boxed{\log(x/y)=\log(x) - \log(y)}$
- Natur: Logarithmische Spiralen

Natürlicher Logarithmus
- Natürliche Logarithmen sind Lösungen der Gleichung: $\boxed{a = e^x ~\Rightarrow~ x = ln(a)}$
- $\boxed{\ln(xy)=\ln(x) -\ln(y)}$
- $\boxed{\ln(x/y)=\ln(x) - \ln(y)}$

Zusammenhang zwischen Potenzen und Logarithmen

$\sqrt[n]{a} = a^{\dfrac{1}{n}} \quad \text{und} \quad \log_a(\sqrt[n]{x}) = \dfrac{1}{n} \log_a(x)$

Beispiel:

$\log_2(\sqrt{8}) = \dfrac{1}{2} \log_2(8) = \dfrac{1}{2} \cdot 3 = 1.5$

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Algebra: Potenzen, Wurzel und Logarithmen

Überblick

Potenzen

1. Definition

2. Grundrechenregeln für Potenzen

a) Multiplikation gleicher Basen

b) Division gleicher Basen

c) Potenz einer Potenz

d) Potenz eines Produkts

e) Potenz eines Quotienten

3. Spezialfälle von Potenzen

4. Kurzform Potenzgesetze

4. Zehner-Potenzen

Wurzeln

1. Definition

2. Schreibweise als Potenz

Rechenregeln mit Wurzeln

1. Produktregel

2. Quotientenregel

3. Wurzelziehen von Potenzen

4. Vereinfachung von Wurzeln

5. Addition und Subtraktion

6. Multiplikation und Division mit Wurzeln

a) Multiplikation:

b) Division:

7. Rationalisieren von Nennern

a) Bei einfacher Wurzel:

b) Bei binomischem Nenner (z. B. $a + \sqrt{b}$):

Sonderfälle & Eigenschaften

Logarithmen

1. Definition

2. Wichtige Logarithmen

3. Rechenregeln für Logarithmen

a) Produktregel

b) Quotientenregel

c) Potenzregel

4. Logarithmus der Basisumrechnung

5. Spezialfälle von Logarithmen

6. Anwendung: Gleichungen mit Logarithmen und Potenzen

7. Anwendung Logarithmen

Zusammenhang zwischen Potenzen und Logarithmen

b) Bei binomischem Nenner (z. B. $a + \sqrt{b}$):