KVHS Northeim 2025 : Astronomie - eine Reise durch Raum und Zeit

Gleichungen

Überblick

Es folgt eine übersichtliche Liste aller wichtigen Rechenregeln zum Lösen von Gleichungen,
mit Erklärungen und Beispielen. Diese Regeln gelten allgemein und helfen, Unbekannte (meist x) schrittweise zu isolieren.

Grundprinzip

Eine Gleichung bleibt gleich, wenn auf beiden Seiten dieselbe Rechenoperation durchgeführt wird.
Rechenregel: Balken - auf beiden Seite das gleiche (zum Bestehenden) rechnen!

1. Addition/Subtraktion

Was du auf einer Seite addierst oder subtrahierst, musst du auf der anderen Seite auch tun.

Beispiel:
$x + 5 = 12$
$\rightarrow$ Subtrahiere 5
$\rightarrow$ $x = 7$

2. Multiplikation/Division

Du darfst beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl ($\neq 0$) multiplizieren oder durch sie teilen.

Beispiel:
$\dfrac{x}{4} = 3$ $\rightarrow$ Balken: auf beiden Seiten mit 4 multiplizieren

$\dfrac{x}{4} \cdot 4 = 3 \cdot 4$

$\dfrac{4 \cdot x}{4} = 12$ $\rightarrow$ Balken: durch 4 kürzen

$\dfrac{1 \cdot x}{1} = 12$

$x = 12$ $\rightarrow$ $\boxed{x = 12}$

3. Äquivalenzumformung

Jede Umformung, die die Lösung nicht verändert, nennt man äquivalent.

Ziel: x allein auf einer Seite

Methode: "Balken" - auf beiden Seiten des Gleichheitszeichen gleichen Operator und Term anwenden!

4. Klammern auflösen

Verwende das Distributivgesetz:
$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Beispiel:
$3(x + 2) = 12$
$\rightarrow$ $3x + 6 = 12$

5. Zusammenfassen von Termen

Gleiche Variablen/konstanten Zahlen auf jeweils einer Seite zusammenfassen.

Beispiel:
$2x + 3x - 5 = 10$
$\rightarrow$ $5x - 5 = 10$

6. Variable auf eine Seite bringen

Ziel: Alle x-Terme auf eine Seite, alle Zahlen auf die andere.

Beispiel:
$5x - 4 = 3x + 2$
$\rightarrow$ Subtrahiere 3x:
$2x - 4 = 2$

7. Brüche beseitigen

Multipliziere beide Seiten mit dem Hauptnenner, um Brüche loszuwerden.

Beispiel:
$\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = 10$
$\rightarrow$ Hauptnenner 6:
$3x + 2x = 60$
$\rightarrow$ $5x = 60$

8. Doppelbrüche vereinfachen

Doppelbrüche (Brüche im Zähler/Nenner) zuerst umformen.

Beispiel:
$\dfrac{\dfrac{1}{x}}{2} = 3$
$\rightarrow$ $\dfrac{1}{2x} = 3$
$\rightarrow$ $1 = 6x$
$\rightarrow$ $x = \dfrac{1}{6}$

9. Durch eine Variable teilen (nur wenn $\neq 0$)

Niemals durch $x$ teilen, wenn nicht sicher, dass $x $\neq 0$$, sonst verliert man Lösungen!

Stattdessen:
$x$ herausziehen und dann Fallunterscheidung.

10. Probe machen

Setze die Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein - stimmt beide Seiten?

Beispiel:
Gleichung: $2x + 1 = 9$, Lösung: $x = 4$
$\rightarrow$ Probe: $2\cdot4 + 1 = 9$ q.e.d

Zusatz: Besondere Fälle

a) Identität

Beide Seiten sind immer gleich, z.B.:
$2x + 3 = 2x + 3$ $\rightarrow$ unendlich viele Lösungen

b) Widerspruch

Falsche Aussage:
$3x + 2 = 3x + 5$ $\rightarrow$ $2 = 5$ ERROR! $\rightarrow$ keine Lösung