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Komplexe Algebra

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als PDF-Dokument : Komplexe Algebra

Definitionen

Z,X,Y,... : Komplexe Zahlen, Z,X,Y,...C

Basis Beziehungen

j2=1

ejϕ=cos(ϕ)+jsin(ϕ) : Eulersche Formel

Z=a+jb=rejϕ=rcos(ϕ)+jrsin(ϕ)

Kartesische Koordinaten in Polarkoordinaten

Z:Z=a+jbZ=rejϕ

r:=|Z|=a2+b2 r : Betrag von Z

ϕ:=arctan(ba) ϕ : Phase von Z

Polarkoordinaten in Kartesische Koordinaten

Z:Z=rejϕZ=a+jb

a=rcos(ϕ)     a : Realanteil von Z

b=rsin(ϕ)      b : Imaginaeranteil von Z

Addition

Z=X+Y=ax+jbx+ay+jby=(ax+ay)+j(bx+by)

Z=X+Y=(ax+ay)+j(bx+by)

Subtraktion

Z=XY=ax+jbxayjby=(axay)+j(bxby)

Z=XY=(axay)+j(bxby)

Multiplikation

Kartesische Koordinaten:

Z=XY=(ax+jbx)(ay+jby)=(axaybxby)+j(axby+aybx)

Z=XY=(axaybxby)+j(axby+aybx)

Polarkoordinaten:

Z=XY=rxejϕxryejϕy=rxryej(ϕx+ϕy)

Z=XY=rxryej(ϕx+ϕy)

Division

Kartesische Koordinaten:

Z=X:Y=XY=ax+jbxay+jby=(ax+jbx)(ayjby)(ay+jby)(ayjby)=axay+bxby+jaybxjaxbyay2+by2

Z=X:Y=XY=axay+bxbyay2+by2+jaybxaxbyay2+by2

Polarkoordinaten:

Z=X:Y=XY=rxejϕxryejϕy=rxryej(ϕxϕy)

Z=X:Y=XY=rxryej(ϕxϕy)

Multiplikation mit konjugiert komplexer Zahl

Z=XX=(a+jb)(ajb)=a2+b2



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