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Gewöhnliche Inhomogene Differentialgleichung Erster Ordnung

Übersicht

Die Lösung der Inhomogenen Differentialgleichung Erster Ordnung:

$\boxed{{\displaystyle x^{\prime }(t)+f(t)x(t)=g(t)}}$ (1)

mit den beiden bekannten zeitabhängigen Funktionen $f(t)$ und $g(t)$

setzt sich zusammen aus der Lösung der Homogenen Differentialgleichung:

$\boxed{{\displaystyle x_h^{\prime }(t)+f(t)x(t)=0}}$ (2)

mit $\boxed{{\displaystyle x_h(t)=C_h\exp [-\underset{t}{\int }f(t)dt]}}$ (4) mit $0<C_h$

und der Lösung der Inhomogenen Differentialgleichung mit

$\boxed{{\displaystyle x(t)=[C_i+\underset{t}{\int }{\displaystyle \frac{g(t)}{x_h(t)}}dt]x_h(t)}}$ (7)

Gegeben

  •  Inhomogene Differentialgleichung Erster Ordnung:

$\boxed{{\displaystyle x^{\prime }(t)+f(t)x(t)=g(t)}}$ (1)

  •  zeitabhängige Funktionen $f(t)$ und $g(t)$

Gesucht

  •  Lösung $x_h(t)$ der Homogenen Differentialgleichung

$\boxed{{\displaystyle x_h^{\prime }(t)+f(t)x_h(t)=0}}$ (2)

  •  Lösung $x(t)$ der Inhomogenen Differentialgleichung

$\boxed{{\displaystyle x^{\prime }(t)+f(t)x(t)=g(t)}}$ (3)

Quellen

Universaldenker: Variation der Konstanten

Wikipedia: Variation der Parameter

Herleitung

Lösung der Homogenen Differentialgleichung

(2) : $x^{\prime }(t)+f(t)x(t)=0$

$x^{\prime }(t)=-f(t)x(t)$

${\displaystyle \frac{dx(t)}{x(t)}}=-f(t)dt$

$\underset{x}{\int }{\displaystyle \frac{dx}{x}}=-\underset{t}{\int }f(t)dt$

$\ln |x(t)|=C_{h0}-\underset{t}{\int }f(t)dt$

$\boxed{{\displaystyle x_h(t)=C_h\exp [-\underset{t}{\int }f(t)dt]}}$ (4) mit $0<C_h$

Lösung der Inhomogenen Differentialgleichung

durch Variation der Konstanten $C_h=C_h(t)$ :

$\boxed{{\displaystyle x(t):=C_h(t)x_h(t)}}$ (5)

eingesetzt in (1) :

$x^{\prime }(t)+f(t)x(t)=g(t)$

$x^{\prime }(t)+f(t)C_h(t)x_h(t)=g(t)$

Erste Ableitung von (5) :

$x^{\prime }(t)=C_h^{\prime }(t)x_h(t)+C_h(t)x_h^{\prime }(t)$

$C_h^{\prime }(t)x_h(t)+C_h(t)x_h^{\prime }(t)+f(t)C_h(t)x_h(t)=g(t)$

$C_h^{\prime }(t)x_h(t)+C_h(t)[x_h^{\prime }(t)+f(t)x_h(t)]=g(t)$

Klammer nach (2) identisch Null:

(2) : $x_h^{\prime }(t)+f(t)x_h(t)=0$

$\Rightarrow C_h^{\prime }(t)x_h(t)=g(t)$

${\displaystyle \frac{d{C}_h(t)}{dt}}={\displaystyle \frac{g(t)}{x_h(t)}}$

$\int d{C}_h=\underset{t}{\int }{\displaystyle \frac{g(t)}{x_h(t)}}dt$

Die Variations"konstante" $C_h(t)$ ergibt sich damit zu :

$\boxed{{\displaystyle C_h(t)=C_i+\underset{t}{\int }{\displaystyle \frac{g(t)}{x_h(t)}}dt}}$ (6)

$C_i$ : Integrationskonstante

Damit folgt für die allgemeine Lösung der Inhomogenen Differentialgleichung aus (5):

(5) : $x(t)=C_h(t)x_h(t)$

$\boxed{{\displaystyle x(t)=[C_i+\underset{t}{\int }{\displaystyle \frac{g(t)}{x_h(t)}}dt]x_h(t)}}$ (7)

mit der Lösung der Homogenen Differentialgleichung $x_h(t)$:

$\boxed{{\displaystyle x_h(t)=C_h\exp [-\underset{t}{\int }f(t)dt]}}$ (4) und $0<C_h$

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