Regression: Allgemeine Gleichung 2. Ordnung
Quellen
Wikipedia :
Carl Friedrich Gauß
Wikipedia :
Gaußsches Eliminationsverfahren
Wikipedia :
Cramersche Regel
OpenHardSoftWare.de :
Cramersche Regel
Download als PDF-Dokument :
2206181041_GeneralEquation2ndOrder.pdf
Übersicht
Allgemeine Gleichung 2. Grades in
impliziter Form:
(1)
mit und
(1.1)
(1.2)
Dabei gilt die Nicht-Identität für alle gegebenen Punkte:
mit : Anzahl der Punkte und
Allgemeine Gleichung zweiten Grades(hier Ellipse) mit gegebenen Punkten
Herleitung
Allgemeine Gleichung 2. Grades:
Identisch zu (Division durch ):
(1)*
ohne Einschränkung der Allgemeinheit. Damit gilt es, die (linearen) Koeffizienten
zu bei einer gegebenen Punktemenge zu berechnen.
Die "Methode der kleinsten Fehlerquadrate" nach
Carl Friedrich Gauss liefert folgenden Ansatz:
(2)
mit: (1.1)*
und: (1.2)*
ergibt sich:
(3)
Notwendige Bedingungen, damit die Koeffizienten optimal mit kleinstem Fehler
durch die Punkte gefittet werden:
Daher folgt ein lineares Gleichungssystem der Unbekannten :
Die Lösungen für ergeben sich prinzipiell aus der
Cramerschen Regel:
Da die Anzahl der Unbekannten die Zahl 4 überschreitet, eignet sich das
Gaußsche Eliminationsverfahren zur effizienten Bestimmung der Unbekannten.
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