Regression: Allgemeine Gleichung 2. Ordnung

Quellen

Wikipedia : Carl Friedrich Gauß
Wikipedia : Gaußsches Eliminationsverfahren
Wikipedia : Cramersche Regel
OpenHardSoftWare.de : Cramersche Regel
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Übersicht

Allgemeine Gleichung 2. Grades in impliziter Form:

F(x,y)=ax2+by2+cxy+dx+ey1   (1)
  mit a,b,c,d,eR und x,yR

Ftheory(x,y)=ax2+by2+cxy+dx+ey1   (1.1)

Fmeasure(xi,yi)=axi2+byi2+cxiyi+dxi+eyi1   (1.2)
Dabei gilt die Nicht-Identität für alle gegebenen Punkte: Pi(xi,yi)Pj(xj,yj)
mit N : Anzahl der Punkte Pi und i,j[5,..,N]

Allgemeine Gleichung zweiten Grades(hier Ellipse) mit gegebenen Punkten

Herleitung

Allgemeine Gleichung 2. Grades:

F(x,y)=0=ax2+by2+cxy+dx+ey+f

Identisch zu (Division durch f):

F(x,y):=ax2+by2+cxy+dx+ey1   (1)*

ohne Einschränkung der Allgemeinheit. Damit gilt es, die (linearen) Koeffizienten a,b,c,d,e
zu bei einer gegebenen Punktemenge Pi=(xi,yi) zu berechnen.
Die "Methode der kleinsten Fehlerquadrate" nach Carl Friedrich Gauss liefert folgenden Ansatz:

S=i=1N[Fm(x,y)Ft(x,y)]2   (2)

mit: Ftheory(x,y)=Ft(x,y)=ax2+by2+cxy+dx+ey1=0     (1.1)*
und: Fmeasure(x,y)=Fm(xi,yi)=axi2+byi2+cxiyi+dxi+eyi1     (1.2)*
ergibt sich:

S=i=1N[Fm(xi,yi)Ft(x,y)]2

S=i=1N[Fm(xi,yi)0]2

S=i=1N[Fm(xi,yi)]2

S=i=1N[axi2+byi2+cxiyi+dxi+eyi1]2   (3)

Notwendige Bedingungen, damit die Koeffizienten a,b,..,e optimal mit kleinstem Fehler
durch die Punkte Pi(xi,yi) gefittet werden:

Sa=0=2i[axi2+byi2+cxiyi+dxi+eyi1][xi2]

Sb=0=2i[axi2+byi2+cxiyi+dxi+eyi1][yi2]

Sc=0=2i[axi2+byi2+cxiyi+dxi+eyi1][xiyi]

Sd=0=2i[axi2+byi2+cxiyi+dxi+eyi1][xi]

Se=0=2i[axi2+byi2+cxiyi+dxi+eyi1][yi]


Sa=0=i[axi4+bxi2yi2+cxi3yi+dxi3+exi2yixi2]

Sb=0=i[axi2yi2+byi4+cxiyi3+dxiyi2+eyi3yi2]

Sc=0=i[axi3yi+bxiyi3+cxi2yi2+dxi2yi+exiyi2xiyi]

Sd=0=i[axi3+bxiyi2+cxi2yi+dxi2+exiyixi]

Se=0=i[axi2yi+byi3+cxiyi2+dxiyi+eyi2yi]


aixi4+bixi2yi2+cixi3yi+dixi3+eixi2yi=ixi2

aixi2yi2+biyi4+cixiyi3+dixiyi2+eiyi3=iyi2

aixi3yi+bixiyi3+cixi2yi2+dixi2yi+eixiyi2=ixiyi

aixi3+bixiyi2+cixi2yi+dixi2+eixiyi=ixi

aixi2yi+biyi3+cixiyi2+dixiyi+eiyi2=iyi


Daher folgt ein lineares Gleichungssystem der Unbekannten a,b,c,d,e :

(abcdeiTixi4ixi2yi2ixi3yiixi3ixi2yiixi2ixi2yi2iyi4ixiyi3ixiyi2iyi3iyi2ixi3yiixiyi3ixi2yi2ixi2yiixiyi2ixiyiixi3ixiyi2ixi2yiixi2ixiyiixiixi2yiiyi3ixiyi2ixiyiiyi2iyi)

Die Lösungen für a,b,c,d,e ergeben sich prinzipiell aus der Cramerschen Regel:

a=DaD    b=DbD    c=DcD    d=DdD    e=DeD

Da die Anzahl der Unbekannten a,b,c,d,e die Zahl 4 überschreitet, eignet sich das
Gaußsche Eliminationsverfahren zur effizienten Bestimmung der Unbekannten.


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